Cours Continuité sur un intervalle – Mathématiques – BAC S

Continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires – Mathématiques – Terminale S

Continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires - Mathématiques - Terminale S
Continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires – Mathématiques – Terminale S

Découvrez le chapitre 3 du programme de Mathématiques de Terminale S.

Notre professeur vous propose un cours intitulé “Continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires“. Vous vous intéresserez donc aux fonctions continues, mais aussi au lien entre continuité et dérivabilité. Enfin, vous aborderez le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de la bijection.

Téléchargez gratuitement ci-dessous ce cours de Maths sur la continuité sur un intervalle pour le Bac S.

Le contenu du document

I. Fonctions continues

1. Définition 1

2. Définition 2

3. Propriété

II. Continuité et dérivabilité

III. Théorème de la valeur intermédiaire

1. Théorème de la valeur intermédiaire

On a le théorème, admis, suivant : soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b deux éléments de I avec a < b. Alors pour tout nombre k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de l’intervalle [a;b] tel que f(c) = k.

On doit noter que l’hypothèse de la continuité est indispensable pour appliquer ce théorème.

2. Convention

On peut établir la convention énoncée ci-après : on conviendra que les flèches placées dans un tableau de variations traduisent le sens de variation de la fonction et sa continuité.

3. Théorème de la bijection

Nous avons maintenant un nouveau théorème : soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Soient a et b deux éléments de I. Alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c dans l’intervalle [a;b] tel que f(c) = k.

Démontrons ce théorème :

On suppose que f est strictement croissante sur I.

On a ainsi : f(a) < f(b).

Soit k ∈ [f(a) ; f(b)].

D’après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe au moins un réel c dans [a;b] tel que f(c) = k

On suppose qu’il existe c1 et c2 tels que f(c1) = k et f(c2) = k.

On a c1 < c2 alors f(c1) < f(c2) car f est strictement croissante.

C’est en contradiction avec f(c1) = f(c2).

On en déduit donc que c est unique.

La démonstration est terminée.

4. Application

5. Théorème complémentaire

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